«Актуальная
бесконечность божественного бытия определяет
динамическую бесконечность
человеческого пути и подвига,
в котором всегда есть начало дальнейшего —
даже
за пределами земной жизни и самого времени».[1]
свт. Григорий Нисский (335 — ок.395)
"Das Wesen der
Mathematik liegt in ihrer Freiheit."[2]
Георг Кантор (1845-1918)
Введение
Георга Кантора по праву можно назвать отцом теории множеств (к 1879-84 гг. относятся основные труды). Более того, заложенные им основы новой дисциплины оказали колоссальное влияние на развитие всей математической науки.
Кантор был религиозным человеком, как отмечают биографы, его симпатии склонялись то к лютеранству, то к католичеству. Добрую половину своих теоретико-множественных работ он посвятил философско-теологическому осмыслению и разъяснению бесконечного.
Кантора интересовала актуальная бесконечность, которая в отличие от потенциальной бесконечности, этой «переменной конечной величины, растущей сверх всяких границ», представляет собой «некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество».[3] Другими словами, наряду с представлением математической бесконечности как несобственно бесконечной величины (тo есть растущей или убывающей вне всяких границ, но всегда остающейся конечной), Кантор первый(!) в математике стал рассматривать бесконечность как вполне определённую собственно бесконечную величину. Вот что он пишет о расширении им понятия натурального числа: «Это расширение понятия числа носит настолько принудительный характер, что без него мне вряд ли будет возможно свободно сделать хотя бы малейший шаг вперед в учении о множествах. Пусть в этом обстоятельстве увидят оправдание или, если необходимо, извинение тому, что я ввожу в мои соображения, казалось бы, чужеродные идеи. ... Как это ни показалось бы смелым, но я не могу не высказать надежды, более того, твердого убеждения в том, что со временем это расширение должно будет рассматриваться как вполне простое, правомерное, естественное. При этом я нисколько не скрываю от себя, что, решаясь на это, я вступаю в известный конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность и с часто встречающимися воззрениями на сущность числовой величины»[4].
Кантору пришлось отвечать на философские и метафизические аргументы, во-первых, против существования актуально бесконечного, и, во-вторых, против возможности непосредственно введения бесконечных чисел. Отвлекаясь от обширной полемики, можно свести эти аргументы к следующим:
1. Против существования бесконечного — восходящее к Аристотелю утверждение Infinitum actu non datur (лат. «Актуальная бесконечность не существует»), основанное на двух доводах:
а) нам известен счёт лишь на конечных
множествах, и потому существуют лишь
конечные числа;
б) если
бы существовало бесконечное, то конечное было бы разрушено им, так как
конечное число будто бы уничтожается бесконечным.
2. Против возможности введения бесконечных чисел другие два довода:
а) к
понятию числа принадлежит его конечность;
б) истинное
бесконечное или абсолютное, заключающееся в Боге, не допускает никакого
определения.
Первые три довода Кантор характеризует как содержащие ошибку порочного круга (то есть вывод получен из посылок, вытекающих из него). В отношении последнего довода замечает, что вполне с ним согласен, а против аристотелевско-схоластического положения выставляет другое:
Omnia seu finita seu infinita et exepto Deo ab intellectu determinari possunt (лат. «Разумному определению доступно всё, как конечное, так и определённо бесконечное, за исключением Бога»)[5].
Это введение, носящее метафизический характер, изложено ради более глубокого понимания теоретико-множественных идей Кантора.
Цель же данного очерка — показать поразительное созвучие богословских идей в учении о богопознании святителя Григория Нисского и естественно-научных построений[6] немецкого математика Георга Кантора, которое свидетельствует о Едином Источнике познавательного начала в человеке. Источник этот — Бог, создавший человека по образу Своему, и создавший наш видимый мир, дабы через него и в нём человеку познавать Творца.
О способах богопознания
В учении святителя Григория Нисского о способах богопознания можно выделить три основных момента: первый — вслед за святым Иоанном Богословом и апостолом Павлом[7] святитель Григорий утверждает, что «естество Божие, само по себе, по своей сущности, выше всякого постигающего мышления...»[8]; второй — несмотря на неописуемость Божества, «мы, взирая на красоту в творении, напечатлеваем в себе понятие не сущности, но премудрости премудро всё Сотворившего»[9]; и, наконец, третий момент — в самом человеке имеется вместимая для человека мера постижения Бога, Который тáк создал человека, что в составе его «отпечатлел подобия благ собственного Своего естества. Посему... чистый сердцем делается блажен, потому что, смотря на собственную чистоту, в этом образе (внутреннем человеке — д.Я.) усматривает Первообраз».[10]
Обратимся теперь к понятию бесконечного в том виде, в каком его рассматривает Кантор. «Актуально бесконечное можно рассматривать в трёх главных отношениях[11]: во-первых, поскольку оно имеет место во внемировом Вечном и Всемогущем Боге или в творящем Начале и в этом случае оно называется абсолютным; во-вторых, поскольку оно имеет место в конкретном или в сотворённой природе...; в-третьих, актуально бесконечное можно рассматривать абстрактным образом, то есть поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием...»[12]. «В двух последних отношениях, где оно, очевидно, представляется как ограниченное и ещё доступное увеличению, а тем самым родственное конечному актуально бесконечному (в противоположность абсолютному, то есть бесконечному актуально бесконечному — д.Я.), я называю его трансфинитным (дословно находящийся за пределами конечного, сверхконечный — д.Я.) и самым строгим образом противопоставляю абсолютному (дословно совершенный, безусловный, сверхполный — д.Я.)».[13]
Итак, по мнению Кантора, есть три проявления актуально бесконечного: в совершенно независимом, внемировом бытии, в Боге, что соответствует в учении святого Григория Нисского непостижимости естества Божия; в зависимом сотворённом мире и в умопостигаемой форме, что соотносится с двумя способами богопознания: премудрости Божией в творении и образа Божия в человеке, соответственно[14]. Причём Кантор благоговейно умолкает, достигая вопроса познания Абсолюта, и сосредотачивает всё внимание на Трансфините.
О совершенстве в добродетели, или Восхождение на гору Боговéдения
«...Братия, я не почитаю себя достигшим; а только, забывая заднее и простираясь вперед[15], стремлюсь к цели, к почести вышнего звания Божия во Христе Иисусе.» [Флп.3:13-14]
В данном параграфе необходимо изложить учение об обóжении святителя Григория[16] и теоретико-множественных конструкций Кантора.
Святитель Григорий Нисский, ссылаясь на апостола Павла (Флп.3:13), приводит два аспекта совершенствования в добродетели[17].
Первый — невозможность окончательного совершенства в беспредельном[18] простирании вперёд (ἐπέκτασις):
«О добродетели же узнаём мы от Апостола, что у нее один предел совершенства — не иметь самого предела... Поэтому не лжёт наше слово, утверждая, что в добродетели достижение совершенства невозможно».
Второй аспект — безостановочное движение вперёд путём добродетели (ибо остановка небезопасна):
«Потому что всякое добро по природе своей не имеет предела, ограничивается же приближением к противоположному (то есть не имеет предела сверху, но имеет предел снизу — д.Я.), например, жизнь — к смерти, свет — ко тьме... Как конец жизни есть начало смерти, так и остановка в течении поприщем добродетели делается началом течения по пути порока...
Первоначально и в собственном смысле добро — то, что естеством своим имеет благость: это Само Божество, которое, чем умопредставляется по естеству, то действительно и есть, тем и именуется. Поэтому, так как доказано, что нет иного предела добродетели, кроме порока, а Божество не допускает противоположного, то следует, что естество Божие неограниченно и беспредельно. Но идущий путем истинной добродетели не иного чего причастен, как Самого Бога, потому что Он есть всесовершенная добродетель[19]. Итак, поскольку знающим то, что по естеству прекрасно, непременно вожделенно причастие его (а оно не имеет предела), то по необходимости вожделение причащающегося, простираясь в беспредельность, не имеет остановки. Следовательно, всеконечно, нет средств достичь совершенного, потому что совершенство, по сказанному, не объемлется пределами, у добродетели же один предел — беспредельность» [20].
Если внимательно посмотреть на предложенные выше мысли Кантора о бесконечном, то можно увидеть их удивительное согласие с учением святого Григория. Действительно, введённое Кантором абсолютное актуально бесконечное (или бесконечное в Боге) соответствует невозможности окончательного совершенства в добродетели:
«Как же кому дойти до искомого предела, не находя самого предела[21]? Впрочем, потому что искомое вовсе недостижимо, как доказало слово, не дóлжно нерадеть о заповеди Господней, которая говорит: Будите совершени, яко же Отец ваш Небесный совершен (Мф. 5,48)»;
а трансфинитное актуально бесконечное (или бесконечное в Творении) — безостановочному движению вперёд путём добродетели:
«Посему должно прилагать все тщание о том, чтобы не вовсе лишиться возможного совершенства, но столько приобрести оного, сколько успеем узнать искомое. Ибо, может быть, иметь у себя прекрасное для того, чтобы всегда желать, приобрести его еще больше, — есть уже совершенство человеческой природы»[22].
Причём Кантор исследование абсолютно бесконечного и определение того, что можно сказать о нём человеческому уму, оставляет на долю тáинственного богословия, а вопросы, связанные с трансфинитным (которыми он и занимался в течение ряда лет), относит главным образом к области метафизики и математики.[23]
Бесконечные числа
Думается, что теперь
самое время предложить изложение основных понятий Теории множеств Георга Кантора. Здесь речь пойдёт о расширении, или
точнее, о продолжении
последовательности натуральных чисел
за бесконечное[24].
В отличие от потенциально бесконечного, которое по сути есть переменное конечное, Кантор вводит актуально бесконечное, которое есть вполне определённое бесконечное. И числа, выражающие актуально бесконечное, называет бесконечными реальными целыми числами[25].
Остаётся показать, кáк Кантор строит абсолютно[26] бесконечную последовательность реальных целых чисел и кáк происходит разбиение этой последовательности на естественно получающиеся отрезки, называемые числовыми классами.
Для начала Кантор вводит понятие мощности множества:
«Каждому множеству присуща определенная мощность, причем двум множествам приписывается одна и та же мощность, если их можно сопоставить друг с другом взаимно однозначно и поэлементно.[27]
В случае конечных множеств мощность совпадает с количеством элементов, потому что, как известно, подобные множества в любом порядке имеют одно и то же количество элементов.
Наоборот, в случае бесконечных множеств до сих пор ни в моих, ни в чьих-либо других работах не было вообще речи о каком-нибудь точно определенном количестве их элементов, но зато им можно было приписать определенную, совершенно не зависящую от их порядка мощность».[28]
Ряд (I) натуральных чисел 1, 2, 3, ... , v (называемый первым числовым классом) «имеет источником своего возникновения повторное введение и объединение единиц, положенных в основу и рассматриваемых как равные. Число есть выражение как определенного конечного количества подобных следующих друг за другом введений, так и соединения рассматриваемых единиц в одно целое.[29]
Поэтому, как ни противоречиво было бы говорить о наибольшем числе класса (I), с другой стороны, нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить себе некоторое новое число — обозначим его ω — которое должно быть выражением того, что нам дана согласно своему закону в своей естественной последовательности вся совокупность (I)...».[30]
Таким образом, Кантор для класса (I) (всех натуральных чисел) вводит наименьшее трансфинитное (иначе бесконечное реальное целое) число, следующее непосредственно за всей совокупностью первого числового класса. Это новосозданное число ω есть предел, первое реальное целое число, являющееся бесконечным и следующее непосредственно за всеми числами v, так что ω больше, чем любое из чисел v. Получается своего рода трансфинитный скачок от конечных чисел (соответствующих конечным множествам и их мощностям) к числу бесконечному (соответствующему, как показывает Кантор, бесконечному множеству наименьшей мощности[31]).
Далее, Кантор,
продолжая ряд натуральных чисел, естественным образом получает[32]
абсолютно бесконечную последовательность реальных целых чисел:
Эта
последовательность разбивается на отрезки, называемые числовыми классами. Причём начало
каждого следующего числового класса
определяется трансфинитным скачком к бесконечному числу, определяющему ближайшую бóльшую мощность в сравнении с
любым предшествующим числом, которая является мощностью предыдущего числового класса. Таким образом,
последовательность приобретает следующий вид:
Так число w есть наименьшее число второго числового класса (II), соответствующее мощности первого числового класса (называемой первой мощностью), а именно, множества натуральных чисел. По построению все числа второго числового класса определяют множества первой мощности. И так далее, пока в последовательности не возникает наименьшее число α, определяющее ближайшую бóльшую мощность[33] (называемую второй мощностью и равную мощности второго числового класса (II) ). Число α есть начало третьего числового класса (III) и т. д.
Выстраивается бесконечная последовательность числовых классов и соответствующих им мощностей, что, по словам Кантора, «представляет собой чудесную, грандиозную гармонию»[34]. А в качестве аналогии совершенствования по пути добродетели перед нами простирается бесконечная лестница восхождения от славы в славу[35], ступеням которой соответствуют трансфинитные скачки.
Резюмируя сказанное в нашем очерке, получаем, что в богословии мы находим учение о бесконечном познании Бога (совершенствовании в добродетели, обóжении), являющемся следствием бесконечности Божественной природы (ибо Бог, по слову святителя Григория Нисского, есть и «абсолютное Совершенство», и «всесовершенное Добро»), а в математике встречаем аналогичное сему учение о восходящей к Абсолюту бесконечной лестнице качественно растущих сверхконечных чисел. И этот феномен единства человеческой мысли позволяет верующему воскликнуть: «Жив Господь!», а человеку ищущему усмотреть премудрость премудро всё Сотворившего.
Библиография
Источники:
1. Новый Завет Господа нашего Иисуса Христа, на
славянском и русском языках. СТСЛ-"Рарог", 1998.
2. НОВЫЙ ЗАВЕТ на греческом и русском языках, в переводе
под редакцией еп. Кассиана (Безобразова). М.: РБО, 2002.
3. Восточные Отцы и учители Церкви IV века. Антология в
3-х томах. Том 2. М.: МФТИ, 1999. - 416 с.
4. Творения святаго Григория Нисскаго. Часть 2. М., 1861.
- 479 с.
Литература:
5. Кантор, Георг. Труды по теории множеств. М.: "Наука",
1985. - 430 с.
6. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.:
"КомКнига", 2006. - 292 с.
7. Нейфах, Георгий, прот. Гармония божественного
творения. М.: "Правило веры", 2005. - 399 с.
[1] Цит. по: Нейфах, Георгий. прот. От издателей: отзыв Первушина В.Н., профессора Объединённого института ядерных исследований в Дубне // Гармония божественного творения. М.: «Правило веры», 2005, с. 6.
[2] В оригинале на нем., в переводе на рус.: «Суть математики - в её свободе». Эти слова отражают жизненную позицию самого Кантора к развитию математики.
[3] Кантор, Георг. О различных точках зрения на актуально бесконечное // Труды по теории множеств. М.: «Наука», 1985, с. 265.
[4] Кантор, Георг. Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном // Труды по теории множеств. М.: «Наука», 1985, с. 64.
[5] см. Кантор, Георг. Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном // Труды по теории множеств. М.: «Наука», 1985, с. 72-75. В примечании к этой работе, заложившей основы теории множеств, Георг Кантор даёт философское осмысление вводимых им понятий: «Под "многообразием" или "множеством" я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определённых элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому ἐῖδος или ἰδέα (греч. эйдос, идея, общее свойство, начало, основание, принцип - д.Я.), а также тому, что Платон в своём диалоге "Филеб или высочайшее благо" называет μικτόν (греч. смешанное; составное, сложное - д.Я.). Он противопоставляет его ἄπειρον (греч. беспредельное, бесконечное - д.Я.), т.е. безграничному, неопределённому, называемому мною несобственно бесконечным, равно как и πέρας (греч. край, предел; конечное, ограниченность - д.Я.), т.е. границе, и называет его упорядоченной "смесью" обоих последних» (там же, с. 101).
[6] Далее приводимые рассуждения Кантора удивительны и тем, что они вполне соответствуют восточной богословской традиции при, фактически, полной независимости от восточно-христианских источников: среди нескольких десятков богословов и философов, на которых ссылается Кантор, только один представитель восточной мысли - Ориген, причём с отрицательной оценкой его взглядов на бесконечное.
[7] «Бога никтоже виде нигдеже...» [Ин.1,18] и «...егоже никтоже видeл есть от человeк, ниже видeти может...» [1Тим.6,16].
[8] Свт. Григорий Нисский. О блаженствах: слово 6 «Блажени чистии сердцем: яко тии Бога узрят». [Мф.5:8] // Творения святаго Григория Нисскаго. Часть 2. М., 1861, с. 440.
[9] Там же, с. 441.
[10] Там же, с. 444.
[11] Кантор приводит латинские определения, которые в цитате переведены для удобства восприятия. Вот они в оригинале: «in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante», «in concreto seu in natura naturata», «in abstracto».
[12] Кантор, Георг. К учению о трансфинитном // Труды по теории множеств. М.: «Наука», 1985, с. 264.
[13] Там же, с. 268.
[14] В этом моменте и свт. Григорий и Кантор оказываются преемниками представления древних о подобии видимого мира и человека: «Мудрецы утверждают, что человек есть некий малый мир (μικρός κόσμος), содержащий в себе те же стихии, которыми наполнена Вселенная (τὸ πᾶν)». (Свт. Григорий Нисский. О душе и воскресении. Диалог с сестрой Макриной // Восточные Отцы и учители Церкви IV века. Антология в 3-х томах. Том 2. М.: МФТИ, 1999, с. 205.)
[15] В греч. оригинале - τοῖς δὲ ἔμπροσθεν ἐπεκτεινόμενος, дословно - к тому, что впереди, устремляясь.
[16] Преимущественно на основании трактата "О жизни Моисея Законодателя, или О совершенстве в добродетели".
[17] Святитель Григорий отождествляет совершенствование в добродетели, богоуподобление и богопознание.
Так, в одном месте он говорит: «Ибо чистота, бесстрастие, отчуждение от всякого зла есть Божество. Посему, ежели есть в тебе это, то, без сомнения, в тебе Бог...» (Свт. Григорий Нисский. О блаженствах: слово 6 "Блажени чистии сердцем: яко тии Бога узрят." [Мф.5:8] // Творения святаго Григория Нисскаго. Часть 2. М., 1861, с.445.)
И в другом: «...идущий путем истинной добродетели не иного чего причастен, как Самого Бога; потому что Он есть всесовершенная добродетель.» (Свт. Григорий Нисский. О жизни Моисея Законодателя, или О совершенстве в добродетели // Восточные Отцы и учители Церкви IV века. Антология в 3-х томах. Том 2. М.: МФТИ, 1999, с.258.)
[18] Эта беспредельность простирания вперёд осуществима лишь «в тех нескончаемых веках, пределом которых является беспредельность», т.е. за гранью этой земной жизни и конца существования этого видимого мира (см. также первый эпиграф к очерку).
[19] В оригинале - ἡ παντελὴς ἀρετή, дословно - абсолютная добродетель.
[20] Свт. Григорий Нисский. О жизни Моисея Законодателя, или О совершенстве в добродетели // Восточные Отцы и учители Церкви IV века. Антология в 3-х томах. Том 2. М.: МФТИ, 1999, с.258.
[21] По греч. - τὸ ζητούμενον φθάσειε πέρας, οὐχ εὑρίσκων τὸ πέρας, дословно - добиться упреждающего [беспредельный рост] осуществления [совершенства], не находя предела осуществлению [совершенства].
[22] Свт. Григорий Нисский. О жизни Моисея Законодателя, или О совершенстве в добродетели // Восточные Отцы и учители Церкви IV века. Антология в 3-х томах. Том 2. М.: МФТИ, 1999, с.259.
[23] см.: Кантор, Георг. К учению о трансфинитном // Труды по теории множеств. М.: "Наука", 1985, с.269.
[24] Точнее было бы сказать сверх всякого конечного. Поэтому и вводимые числа Кантор называет транс-финитными (досл. сверх-конечными, от лат. trans и finitus).
[25] Правильнее называть бесконечными реальными натуральными числами, потому что, как будет видно из построения, именно натуральные числа продолжаются за бесконечное. Но мы будем следовать за терминологией Кантора, вероятно, введённой им в таком виде ради простоты восприятия. Слово ‘реальные' в этом определении означает ‘действительно существующие', но никак не связано с понятием действительного (в других терминах реального) числа.
[26] Здесь было бы последовательнее для Кантора не употреблять понятие абсолютного, относящееся, по его словам, исключительно к Богу, и недоступное научному познанию. Вероятно, используя это понятие, Кантор подразумевал, что Сверхпредел этой бесконечной последовательности сверхконечных чисел и есть Абсолют.
[27] Существенное различие между конечными и бесконечными множествами состоит в том, что часть конечного множества (содержащая меньшее количество элементов) всегда имеет мощность меньшую, чем мощность конечного множества целиком. Напротив, бесконечное множество может быть равномощно со своей частью. Например, множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, ... , v равномощно с множеством чётных натуральных чисел (вида 2•µ, где µ = 1, 2, 3, ... ), т.е. множество всех натуральных чисел количественно совпадает со своей половиной. Взаимно однозначным поэлементным соответствием будет v↔ω (1↔2,2↔4, 3↔6,...).
[28] Кантор, Георг. Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном // Труды по теории множеств. М.: "Наука", 1985, с.66.
[29] Кантор замечая, что всякое натуральное число есть некий сплав предшествующих ему чисел, или по-другому, объединение множества единиц, из которых оно состоит (так, например, 3 состоит из трёх единиц, а 5 - из пяти), тем самым подводит читателя к восприятию натурального числа как выражения всей совокупности предшествующих ему чисел, а значит, и к принятию естественного обобщения на множество всех натуральных чисел,- наименьшего трансфинитного (сверхконечного) числа.
[30] Там же, с.92.
[31] ω как выражение всей совокупности натуральных чисел определяет мощность этого первого числового класса (а значит, и всех равномощных ему множеств). Эта мощность называется счётной, а соответствующие множества - счётными. Кроме множества натуральных чисел, примерами счётных множеств являются чётные числа, целые числа, рациональные числа, алгебраические числа.
[32] Отметим, что нами приведено первоначальное чисто конструктивное построение Кантором бесконечных реальных целых чисел. Оно привлекает своей наглядностью, хотя и не является достаточно обоснованным и доказательным. Недостатки эти были частично устранены в последующих работах Кантора и его преемников.
[33] То, что существуют бесконечные множества с мощностью бóльшею счётной, Кантор показал ещё в 1874 году (будучи 29-ти лет óт роду), доказав несчетность множества действительных чисел и установив т. о. существование неэквивалентных (или, что то же самое, имеющих разные мощности) бесконечных множеств.
[34] Кантор, Георг. К учению о трансфинитном // Труды по теории множеств. М.: "Наука", 1985, с.279.
[35] ср.: "И мы все с открытым лицом, отражая как в зеркале славу Господню, преображаемся в Его же образ от славы в славу, и преображает нас Господь, Который есть Дух." [2Кор.3:18] (НОВЫЙ ЗАВЕТ на греческом и русском языках, в переводе под редакцией еп. Кассиана (Безобразова). М.: РБО, 2002.)